在實際中,許多問題所研究的變量都是離散的形式,所建立的模型也是離散的,下面是小編搜集的一篇關(guān)于數(shù)值分析在模型建立中的應用探究的論文范文,歡迎閱讀參考。
數(shù)值分析主要解釋了現(xiàn)代科學計算中使用的數(shù)值計算規(guī)則及它的基本原理,研究并求解數(shù)值問題的近似解,是數(shù)學原理與計算機以及實際問題的有機結(jié)合[1]。隨著現(xiàn)代科技的快速發(fā)展,運用數(shù)學思想解決科學技術(shù)和工程研究領(lǐng)域中的現(xiàn)實問題,已經(jīng)得到廣泛重視。數(shù)學建模是數(shù)值分析聯(lián)系實際的橋梁。在模型構(gòu)建的過程中,無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、擬合法等。
一、數(shù)值分析在模型建立中的應用
在實際中,許多問題所研究的變量都是離散的形式,所建立的模型也是離散的。例如,對經(jīng)濟進行動態(tài)的分析時,一般總是根據(jù)一些計劃的周期期末的指標值判斷某經(jīng)濟計劃執(zhí)行的如何。有些實際問題即可建立連續(xù)模型,也可建立離散模型,但在研究中,并不能時時刻刻統(tǒng)計它,而是在某些特定時刻獲得統(tǒng)計數(shù)據(jù)。另一方面,對常見的微分方程、積分方程為了求解,往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型。將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型,最常用的方法就是建立差分方程。
以非負整數(shù)k表示時間,記xk為變量x在時刻k的取值,則稱xk=xk+1-xk為xk的一階差分,稱2xk=(xk)=xk+2-2xk+1+xk為xk的二階差分。類似課求出xk的n階差分nxk。由k,xk,及xk的差分給出的方程稱為差分方程[2]。例如在研究節(jié)食與運動模型時,發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運動方式消耗體內(nèi)存儲的脂肪,引起體重下降,達到減肥目的。通常制定減肥計劃以周為時間單位比較方便,所以采用差分方程模型進行討論。記第k周末體重為w(k),第k周吸收熱量為c(k),熱量轉(zhuǎn)換系數(shù),代謝消耗系數(shù),在不考慮運動情況下體重變化的模型為w(k+1)=w(k)+c(k+1)-w(k)[2],k=0,1,2,,增加運動時只需將改為1+,1由運動的形式和時間決定。
二、數(shù)值分析在模型求解中的應用
插值法和擬合法在模型求解中的應用
1.擬合法求解
在數(shù)學建模中,我們常常建立了模型,也測量了(或收集了)一些已知數(shù)據(jù),但是模型中的某些參數(shù)是未知的,此時需要利用已知數(shù)據(jù)去確定有關(guān)參數(shù),這個過程通常通過數(shù)據(jù)擬合來完成。最小二乘法是數(shù)據(jù)擬合的基本方法。其基本思想就是:尋找最適合的模型參數(shù),使得由模型給出的計算數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的整體誤差最小。
假設(shè)已建立了數(shù)學模型y=f(x,c),其中,c=(c1,c2,,cm)T是模型參數(shù)。已有一組已知數(shù)據(jù)(x1,,y1),(x2,y2),,(xk,,yk),用最小二乘確定參數(shù)c,使e(c)=ki=1(yi-f(xi,c))2最小。函數(shù)f(x,c)稱為數(shù)據(jù)(xi,,yi)(i=1,2,,k)的最小二乘擬合函數(shù)。如果模型函數(shù)y=f(x,c)具有足夠的可微性,則可用微分方程法解出c。最合適的c應滿足必要條件e(c)cj=-2ki=1(yi-f(xi,c))f(xi,c)cj=0,j=1,2,,m。
2.插值法求解
在實際問題中,我們經(jīng)常會遇到求經(jīng)驗公式的問題,即不知道某函數(shù)y=f(x)的具體表達式,只能通過實驗測量得到該函數(shù)在一些點的函數(shù)值,即已知一部分精確的函數(shù)值數(shù)據(jù)(x1,,y1),(x2,y2),,(xk,,yk)。要求一個函數(shù)
yi=(xi),i=0,1,,k,(2)
這就是插值問題。函數(shù)yi=(xi)稱為f(x)的插值函數(shù)。xi(i=0,1,,k)稱為插值節(jié)點,式(2)稱為插值條件[2]。多項式插值是最常用的插值方法,在工程計算中樣條插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解線性方程組問題
在線性規(guī)劃模型的求解過程中,常遇到線性方程組求解問題。線性方程組求解是科學計算中用的最多的,很多計算問題都歸結(jié)為解線性方程組,利用計算機求解線性方程組的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于求解的三角線性方程組,再求三角線性方程組,理論上直接在有限步內(nèi)求得方程的精確解,但由于數(shù)值運算有舍入誤差,因此實際計算求出的解仍然是近似解,仍需對解進行誤差分析。直接法不適用求解n4的線性方程組,因此當n4時,可以采用迭代法進行求解。
迭代法先要構(gòu)造迭代公式,它與方程求根迭代法相似,可將線性方程組改寫成便于迭代的形式。迭代計算公式簡單,易于編制計算程序,通常都用于解大型稀疏線性方程組。求解線性方程組的一般設(shè)計思想如下,假設(shè)建立一個線性規(guī)劃模型
Ax=b
其中A=a11a12a1na12a22an2an1a12ann,x=x1x2xn,b=b1b2bn,即ARnn,可將A改寫為迭代的形式
x=Bx+f
并由此構(gòu)造迭代法
xk+1=Bxk+f,k=0,1,2,,
其中BRnn,稱為迭代矩陣。將A按不同方式分解,就得到不同的迭代矩陣B,也就的帶不同的迭代法,例如Jacobi迭代法[5]、高斯-賽德爾迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于計算過程中有舍入誤差,為防止誤差增大,就要求所使用的迭代法具有穩(wěn)定性,即迭代收斂,收斂速度越快,誤差越小。若x=Bx+f中,1,則認為此迭代法收斂。
4.數(shù)值積分在模型求解中的應用 模型求解過程中可能遇到積分求解問題,用求積公式If=bafxdx=Fb-Fa,使定積分計算變得簡單,但在實際應用中很多被積函數(shù)找不到用解析時表示的原函數(shù),例如10e-x2dx,或者即使找到表達式也極其復雜。另外,當被積函數(shù)是列函數(shù),其原函數(shù)沒有意義,因此又將計算積分歸結(jié)為積函數(shù)值的加權(quán)平均值。
假設(shè)ax1b,則積分的計算公式[5]為bafxdxb-ani=0ifxi,稱其為機械求積公式,其中xi(i=0,1,2,,n)稱為求積節(jié)點,i與f無關(guān),稱為求積系數(shù)或權(quán)數(shù),機械求積公式是將計算積分歸結(jié)為計算節(jié)點函數(shù)值的加權(quán)平均,即取ni=0ifxi
得到的。由于這類公式計算極其便捷,是計算機計算積分的主要方法,構(gòu)造機械求積公式就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)xi及i的代數(shù)問題。
5.數(shù)值分析在求解微分方程中的應用
在數(shù)學建模中,所建立的模型很多時候是常微分方程或者偏微分方程,這些方程求解析解是很困難的,而且即使能夠求得解析解,由于所用數(shù)據(jù)的誤差得到的解也是近似值,所以大部分情況下會采取數(shù)值的方法進行求解。
三、誤差分析
在數(shù)學模型中往往包含了若干參變量,這些量往往是通過觀察得到的,因此也帶來了誤差,這種誤差稱為觀察誤差[4]。這些誤差是不可避免的,所以我們只能在模型建立和模型求解中避免誤差擴大。目前已經(jīng)提出的誤差分析方法有向前誤差分析法與向后誤差分析,區(qū)間分析法,及概率分析,但在實際誤差估計中均不可行。不能定量的估計誤差,因此在建模過程中更著重誤差的定性分析,也就是算法的穩(wěn)定性分析。
在誤差分析中,首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否穩(wěn)定,計算時還要盡量避免誤差危害。為了防止有效數(shù)字的損失,應該注意下面若干原則:一是避免用絕對值小的數(shù)作除數(shù);二是避免數(shù)值接近相等的兩個近似值相減,這樣會導致有效數(shù)字嚴重損失;三是注意運算次序,防止大數(shù)吃小數(shù),如多個數(shù)相加減,應按照絕對值由小到大的次序運算;四是簡化步驟,減少算術(shù)運算的次數(shù)。
四、結(jié)論
隨著電子計算機的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值軟件的不斷開發(fā),數(shù)值分析的理論和方法無論是在高科技領(lǐng)域還是在傳統(tǒng)學科領(lǐng)域,其作用和影響都越來越大,實際上它已成為科學工作者和工程技術(shù)人員必備的知識和工具,所以把數(shù)值分析的知識正確的應用到數(shù)學建模中去不僅是一種趨勢,更是用數(shù)學的理論解決實際問題的關(guān)鍵